R语言解读多元线性回归模型

在许多生活和工作的实际问题中，影响因变量的因素可能不止一个，比如对于知识水平越高的人，收入水平也越高，这样的一个结论。这其中可能包括了因为更好的家庭条件，所以有了更好的教育;因为在一线城市发展，所以有了更好的工作机会;所处的行业赶上了大的经济上行周期等。要想解读这些规律，是复杂的、多维度的，多元回归分析方法更适合解读生活的规律。

由于本文为非统计的专业文章，所以当出现与教课书不符的描述，请以教课书为准。本文力求用简化的语言，来介绍多元线性回归的知识，同时配合R语言的实现。

1. 多元线性回归介绍

对比一元线性回归，多元线性回归是用来确定2个或2个以上变量间关系的统计分析方法。多元线性回归的基本的分析方法与一元线性回归方法是类似的，我们首先需要对选取多元数据集并定义数学模型，然后进行参数估计，对估计出来的参数进行显著性检验，残差分析，异常点检测，最后确定回归方程进行模型预测。

由于多元回归方程有多个自变量，区别于一元回归方程，有一项很重要的操作就是自变量的优化，挑选出相关性最显著的自变量，同时去除不显著的自变量。在R语言中，有很方便地用于优化函数，可以很好的帮助我们来改进回归模型。

下面就开始多元线性回归的建模过程。

2. 多元线性回归建模

做过商品期货研究的人，都知道黑色系品种是具有产业链上下游的关系。铁矿石是炼钢的原材料，焦煤和焦炭是炼钢的能源资源，热卷即热轧卷板是以板坯为原料经加热后制成的钢板，螺纹钢是表面带肋的钢筋。

由于有产业链的关系，假设我们想要预测螺纹钢的价格，那么影响螺纹钢价格的因素可以会涉及到原材料，能源资源和同类材料等。比如，铁矿石价格如果上涨，螺纹钢就应该要涨价了。

2.1 数据集和数学模型

先从数据开始介绍，这次的数据集，我选择的期货黑色系的品种的商品期货，包括了大连期货交易所的 焦煤(JM)，焦炭(J)，铁矿石(I)，上海期货交易所的 螺纹钢(RU) 和 热卷(HC)。

数据集为2016年3月15日，当日白天开盘的交易数据，为黑色系的5个期货合约的分钟线的价格数据。

数据集包括有6列:索引, 为时间

x1, 为焦炭(j1605)合约的1分钟线的报价数据

x2, 为焦煤(jm1605)合约的1分钟线的报价数据

x3, 为铁矿石(i1605)合约的1分钟线的报价数

x4, 为热卷(hc1605)合约的1分钟线的报价数据

y, 为螺纹钢(rb1605)合约的1分钟线的报价数据

假设螺纹钢的价格与其他4个商品的价格有线性关系，那么我们建立以螺纹钢为因变量，以焦煤、焦炭、铁矿石和热卷的为自变量的多元线性回归模型。用公式表示为：

y，为因变量，螺纹钢

x1，为自变量，焦煤

x2，为自变量，焦炭x3，为自变量，铁矿石

x4，为自变量，热卷

a，为截距

b,c,d,e，为自变量系数

ε, 为残差，是其他一切不确定因素影响的总和，其值不可观测。假定ε服从正态分布N(0,σ^2)。

通过对多元线性回归模型的数学定义，接下来让我们利用数据集做多元回归模型的参数估计。

2.2. 回归参数估计

上面公式中，回归参数 a, b, c, d,e都是我们不知道的，参数估计就是通过数据来估计出这些参数，从而确定自变量和因变量之前的关系。我们的目标是要计算出一条直线，使直线上每个点的Y值和实际数据的Y值之差的平方和最小，即(Y1实际-Y1预测)^2+(Y2实际-Y2预测)^2+ …… +(Yn实际-Yn预测)^2 的值最小。参数估计时，我们只考虑Y随X自变量的线性变化的部分，而残差ε是不可观测的，参数估计法并不需要考虑残差。

类似于一元线性回归，我们用R语言来实现对数据的回归模型的参数估计，用lm()函数来实现多元线性回归的建模过程。

这样我们就得到了y和x关系的方程。

2.3. 回归方程的显著性检验

参考一元线性回归的显著性检验，多元线性回归的显著性检验，同样是需要经过 T检验，F检验，和R^2(R平方)相关系统检验。在R语言中这三种检验的方法都已被实现，我们只需要把结果解读，我们可以summary()函数来提取模型的计算结果。

T检验：所自变量都是非常显著***

F检验：同样是非常显著，p-value < 2.2e-16

调整后的R^2：相关性非常强为0.972

最后，我们通过的回归参数的检验与回归方程的检验，得到最后多元线性回归方程为：

2.4 残差分析和异常点检测

在得到的回归模型进行显著性检验后，还要在做残差分析(预测值和实际值之间的差)，检验模型的正确性，残差必须服从正态分布N(0,σ^2)。直接用plot()函数生成4种用于模型诊断的图形，进行直观地分析。

残差和拟合值(左上)，残差和拟合值之间数据点均匀分布在y=0两侧，呈现出随机的分布，红色线呈现出一条平稳的曲线并没有明显的形状特征。

残差QQ图(右上)，数据点按对角直线排列，趋于一条直线，并被对角直接穿过，直观上符合正态分布。

标准化残差平方根和拟合值(左下)，数据点均匀分布在y=0两侧，呈现出随机的分布，红色线呈现出一条平稳的曲线并没有明显的形状特征。

标准化残差和杠杆值(右下)，没有出现红色的等高线，则说明数据中没有特别影响回归结果的异常点。

结论，没有明显的异常点，残差符合假设条件。

2.5. 模型预测

我们得到了多元线性回归方程的公式，就可以对数据进行预测了。我们可以用R语言的predict()函数来计算预测值y0和相应的预测区间，并把实际值和预测值一起可视化化展示。

图例说明：

y, 实际价格，红色线

fit, 预测价格，绿色线

lwr，预测最低价，蓝色线

upr，预测最高价，紫色线

从图中看出，实际价格y和预测价格fit，在大多数的时候都是很贴近的。我们的一个模型就训练好了!

3. 模型优化

上文中，我们已经很顺利的发现了一个非常不错的模型。如果要进行模型优化，可以用R语言中update()函数进行模型的调整。我们首先检查一下每个自变量x1,x2,x3,x4和因变量y之间的关系。

从图中，我们可以发现x2与Y的关系，可能是最偏离线性的。那么，我们尝试对多元线性回归模型进行调整，从原模型中去掉x2变量。

当把自变量x2去掉后，自变量x3的T检验反而变大了，同时Adjusted R-squared变小了，所以我们这次调整是有问题的。

如果通过生产和原材料的内在逻辑分析，焦煤与焦炭属于上下游关系。焦煤是生产焦炭的一种原材料，焦炭是焦煤与其他炼焦煤经过配煤焦化形成的产品，一般生产 1 吨焦炭需要1.33 吨炼焦煤，其中焦煤至少占 30% 。

我们把焦煤 和 焦炭的关系改变一下，增加x1*x2的关系匹配到模型，看看效果。

从结果中发现，增加了x1*x2列后，原来的x1,x2和Intercept的T检验都不显著。继续调整模型，从模型中去掉x1,x2两个自变量。

从调整后的结果来看，效果还不错。不过，也并没有比最初的模型有所提高。

对于模型调整的过程，如果我们手动调整测试时，一般都会基于业务知识来操作。如果是按照数据指标来计算，我们可以用R语言中提供的逐步回归的优化方法，通过AIC指标来判断是否需要参数优化。

通过计算AIC指标，lm1的模型AIC最小时为324.51，每次去掉一个自变量都会让AIC的值变大，所以我们还是不调整比较好。

对刚才的lm3模型做逐步回归的模型调整。

通过AIC的判断，去掉X1*X2项后AIC最小，最后的检验结果告诉我们，还是原初的模型是最好的。

4. 案例：黑色系期货日K线数据验证

最后，我们用上面5个期货合约的日K线数据测试一下，找到多元回归关系。

数据集的基本统计信息。

对于日K线数据，黑色系的5个品种，同样具有非常强的相关关系，那么我们就可以把这个结论应用到实际的交易中了。

本文通过多元回归的统计分析方法，介绍多元回归在金融市场的基本应用。我们通过建立因变量和多个自变量的模型，从而发现生活中更复杂的规律，并建立有效的验证指标。