机器学习中的降维算法：ISOMAP & MDS

降维是机器学习中很有意思的一部分，很多时候它是无监督的，能够更好地刻画数据，对模型效果提升也有帮助，同时在数据可视化中也有着举足轻重的作用。
一说到降维，大家第一反应总是PCA，基本上每一本讲机器学习的书都会提到PCA，而除此之外其实还有很多很有意思的降维算法，其中就包括isomap，以及isomap中用到的MDS。
ISOMAP是‘流形学习’中的一个经典算法，流形学习贡献了很多降维算法，其中一些与很多机器学习算法也有结合，但上学的时候还看了蛮多的机器学习的书，从来没听说过流形学习的概念，还是在最新的周志华版的《机器学习》里才看到,很有意思，记录分享一下。
流形学习
流形学习应该算是个大课题了，它的基本思想就是在高维空间中发现低维结构。比如这个图：

这些点都处于一个三维空间里，但我们人一看就知道它像一块卷起来的布，图中圈出来的两个点更合理的距离是A中蓝色实线标注的距离，而不是两个点之间的欧式距离（A中蓝色虚线）。
此时如果你要用PCA降维的话，它 根本无法发现这样卷曲的结构 （因为PCA是典型的 线性降维 ，而图示的结构显然是非线性的），最后的降维结果就会一团乱麻，没法很好的反映点之间的关系。而流形学习在这样的场景就会有很好的效果。
我对流形学习本身也不太熟悉，还是直接说算法吧。
ISOMAP
在降维算法中，一种方式是提供点的坐标进行降维，如PCA；另一种方式是提供点之间的距离矩阵，ISOMAP中用到的MDS(Multidimensional Scaling)就是这样。
在计算距离的时候，最简单的方式自然是计算坐标之间的欧氏距离，但ISOMAP对此进行了改进，就像上面图示一样：
1.通过kNN(k-Nearest Neighbor)找到点的k个最近邻，将它们连接起来构造一张图。
2. 通过计算同中各点之间的最短路径，作为点之间的距离 i j
放入距离矩阵 D
3. 将 D 传给经典的MDS算法，得到降维后的结果。
ISOMAP本身的 核心就在构造点之间的距离 ，初看时不由得为其拍案叫绝，类似的思想在很多降维算法中都能看到，比如能将超高维数据进行降维可视化的t-SNE。
ISOMAP效果，可以看到选取的最短路径比较好地还原了期望的蓝色实线，用这个数据进行降维会使流形得以保持：

ISOMAP算法步骤可谓清晰明了，所以本文主要着重讲它中间用到的MDS算法，也是很有意思的。
经典MDS（Multidimensional Scaling）
如上文所述，MDS接收的输入是一个距离矩阵 D
,我们把一些点画在坐标系里：

如果只告诉一个人这些点之间的距离（假设是欧氏距离），他会丢失那些信息呢？
a. 我们对点做平移，点之间的距离是不变的。
b. 我们对点做旋转、翻转，点之间的距离是不变的。
所以想要从 D
还原到原始数据 是不可能的，因为只给了距离信息之后本身就丢掉了很多东西，不过不必担心，即使这样我们也可以对数据进行降维。
我们不妨假设：
是一个 n × 的矩阵，n为样本数，q是原始的维度
计算一个很重要的矩阵 B ：
=         ( n × n ) = ( ) ( )         ( 是 一 组 正 交 基 )
可以看到我们通过 对 做正交变换并不会影响 B 的值，而 正交变换刚好就是对数据做旋转、翻转操作的 。
所以如果我们想通过 B 反算出 ，肯定是没法得到真正的 , 而是它的任意一种正交变换后的结果。
B中每个元素的值为：
b i j = ∑ k = 1 x i k x j k
计算距离矩阵 D ，其中每个元素值为:
= ( x i ? x j ) 2 = ∑ k = 1 ( x i k ? x j k ) 2 = ∑ k = 1 x 2 i k + x 2 j k ? 2 x i k x j k = b i i + b j j ? 2 b i j \tag{dij_square}\label{dij_square}
这时候我们有的只有 D ，如果能通过 D 计算出 B ，再由 B 计算出 ，不就达到效果了吗。
所以思路是：从D->B->X
此时我们要对X加一些限制，前面说过我们平移所有点是不会对距离矩阵造成影响的，所以我们就把 数据的中心点平移到原点 ，对X做如下限制（去中心化）：
∑ i = 1 n x i k = 0 , o r   a l l   k = 1..
所以有
∑ j = 1 n b i j = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 x i k x j k = ∑ k = 1 x i k ∑ j = 1 n x j k = 0
类似的
∑ i = 1 n b i j = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 x i k x j k = ∑ k = 1 x j k ( ∑ i = 1 n x i k ) = 0
可以看到即 B 的任意行(row)之和以及任意列(column)之和都为0了。
设T为 B
的trace，则有：
∑ i = 1 n 2 i j = ∑ i = 1 n b i i + b j j ? 2 b i j = + n b j j + 0
∑ j = 1 n 2 i j = ∑ j = 1 n b i i + b j j ? 2 b i j = n b i i + + 0
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j = 2 n
得到B：根据公式 我们有：
b i j = ? 1 2 ( 2 i j ? b i i ? b j j )
而（根据前面算 ∑ n i = 1 2 i j , ∑ n j = 1 2 i j 和 ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 2 i j 的公式可以得到）
b i i b j j 2 n = + 1 n ∑ j = 1 n 2 i j = + 1 n ∑ i = 1 n 2 i j = 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j
所以
= ? 1 2 ( 2 i j ? b i i ? b j j ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ? 1 n ∑ i = 1 n 2 i j + 2 n ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ? 1 n ∑ i = 1 n 2 i j + 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 2 i ? ? 2 ? j + 2 ? ? )
可以看到 2 i ? 是 D 2 行均值； 2 ? j 是列均值； 2 ? ? 是矩阵的均值。
这样我们就可以通过矩阵 D
得到矩阵 B 了
因为B是对称的矩阵，所以可以通过特征分解得到：
B = Λ ? 1 = Λ
在最开始我们其实做了一个假设， 即 D 是由一个 n × 的数据生成的，如果事实是这样的， D 会是一个对称实矩阵，此时得到的 B 刚好会有 个非0的特征值，也就是说 B 的秩等于 ，如果我们想还原 ，就选择前 个特征值和特征向量；如果想要达到降维的目的，就选择制定的 p 个( p < )。
此时我们选择前 p
个特征值和特征向量，（这一步和PCA里面很类似）：
B ? = ? Λ ? ? ? ( n × p ) , Λ ? ( p × p )
所以有（ Λ 是特征值组成的对角矩阵）：
B ? = ? Λ ? 1 2 ? Λ ? 1 2 ? = ? ?
因此
? = ? Λ ? 1 2
如果选择 p = 的话，此时得到的 ? 就是原数据去中心化并做了某种正交变换后的值了。
MDS的例子
举个例子：拿美国一些大城市之间的距离作为矩阵传进去，简单写一写代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mds(D,q):
    D = np.asarray(D)
    DSquare = D**2
    totalMean = np.mean(DSquare)
    columnMean = np.mean(DSquare, axis = 0)
    rowMean = np.mean(DSquare, axis = 1)
    B = np.zeros(DSquare.shape)
    for i in range(B.shape[0]):
        for j in range(B.shape[1]):
            B[i][j] = -0.5*(DSquare[i][j] - rowMean[i] - columnMean[j]+totalMean)
    eigVal,eigVec = np.linalg.eig(B)
    X = np.dot(eigVec[:,:q],np.sqrt(np.diag(eigVal[:q])))

    return X


D = [[0,587,1212,701,1936,604,748,2139,2182,543],
[587,0,920,940,1745,1188,713,1858,1737,597],
[1212,920,0,879,831,1726,1631,949,1021,1494],
[701,940,879,0,1374,968,1420,1645,1891,1220],
[1936,1745,831,1374,0,2339,2451,347,959,2300],
[604,1188,1726,968,2339,0,1092,2594,2734,923],
[748,713,1631,1420,2451,1092,0,2571,2408,205],
[2139,1858,949,1645,347,2594,2571,0,678,2442],
[2182,1737,1021,1891,959,2734,2408,678,0,2329],
[543,597,1494,1220,2300,923,205,2442,2329,0]]

label = ['Atlanta','Chicago','Denver','Houston','Los Angeles','Miami','New York','San Francisco','Seattle','Washington, DC']
X = mds(D,2)
plt.plot(X[:,0],X[:,1],'o')
for i in range(X.shape[0]):
    plt.text(X[i,0]+25,X[i,1]-15,label[i])
plt.show()
最后画出来的图中，各个城市的位置和真实世界中的相对位置都差不多:

注意，这个例子中其实也有‘流形’在里面，因为我们的地球其实是一个三维，而城市间距离刻画的是在球面上的距离，所以最后如果你去看求出来的特征值，并不像前面说的那样只有q个非0的值。数据分析师培训