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CDA LEVEL 1 考试，知识点汇总《描述性统计分析》

2024-08-13

一、数据计量尺度

数据的计量尺度和具体的统计方法息息相关，大致分为3类，分别是名义测量、次序测量和连续变量测量。这三类测量分别对应三种变量类型，即分类变量，顺序变量和数值变量。连续变量测量可以进一步细分为间距测量和比例测量。间距测量和比率测量这两种测量，统计软件通常不做区分。大部分的模型都适用。

1.名义测量（nominal measurement）是最低的一种测量等级，也称定名测度。其数值仅代表某些分类或属性。比如，用来表示性别（1或2）和民族（1、2、3…）等。这类变量一般不做高低、大小区分。

2.次序测量（ordinal measurement）的量化水平高于名义测量，用于测量的数值代表了一些有序分类。比如，用来表示受教育程度高低的数字（1、2、3…）具有一定的顺序性。

3.间距测量（interval measurement）的量化程度更高一些，它的取值不再是类的编码，而是采用一定单位的实际测量值。可以进行加减运算，但不能进行乘除运算，因为测量等级变量所取的“0”值，不是物理上的绝对“0”。比如，考试成绩的零分，不能说这个学生一点英语能力也没有。

4.比率测量（ratio measurement）是最高级的测量等级，它除了具有间距测度等级的所有性质外，其0值具有物理上的绝对意义，而且可以进行加减乘除运算。例如增长率、收入等。

二、数据描述

1.分类变量

对于分类变量，通常可以检查变量的众数、分类取值的百分比间的差别大小，有无太小的比例（异常值），主要的统计量如下：

频次/频数：每个水平出现的次数；

百分比：每个水平出现的频数除以总数；

累积频次与累积百分比：仅对于次序型变量有意义，分别计算累积频次和百分比。

2.顺序变量

对于顺序变量，通常检查数据的众数、频次、百分比、累积频次与累积百分比、四分位差等。

3.连续变量

对于连续变量，通常检查中心水平、离散程度、偏度和峰度4个方面。值得注意的是分类变量、顺序变量、连续变量的量化水平是由低到高的，低水平变量的统计量可以用于高水平，但高水平变量的统计量不一定能用于低水平。例如分类变量的统计量可以用于连续变量，但反之则不一定成立。

4.连续变量——中心水平

能代表“中心”概念的可选统计量有均值、中位数和众数。

众数：出现次数最多的变量值，一组数据可能没有众数或有几个众数。例如：数据 23,4,4,5,5,7,8,23,78，其中4和5出现了两次，则4和5都是众数。

中位数：排序后处于中间位置上的值，这里需要注意的是，一定要先排序。

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这里的n表示数据数量。

例如，数据1，2，6，5，4，3。排序后为1，2，3，4，5，6，这里n=6，是偶数，所以该数据的中位数为(3+4) / 2=2.5。

5.连续变量——中心水平

四分位数：是另外一套表达变量位置信息的手段，其定义方式类似于中位数。中位数本身就是变量从大到小排序后， 50%对应的变量取值。如图：

这里的Q1称为下四分位数，Q3称为上四分位数，Q2就是中位数。

6.连续变量——中心水平（算术平均数）

样本平均数

总体平均数

这里的n是样本数据量， N是总体数据量，样本是用来估计总体的。一般样本用英文字母，而总体用希腊字母。

7.连续变量——中心水平（加权平均数）

样本加权平均

总体加权平均

这里的 x1,x2,…,xk 表示各组数据的组中值或数据本身， f1,f2,…,fk表示各组频数或数据的权重。

8.连续变量——中心水平（几何平均数）

适用于计算比率数据的平均，主要用于计算平均增长率。

各个中心水平度量的比较：众数和中位数不易受到极端值的影响，平均数容易受到极端值的影响。众数和中位数适合在非对称情况下使用。众数不是唯一的。

9.连续变量——离散程度

知道一个变量的“中心”水平统计量之后，还想知道这个指标到底有多大的代表性。如果这个变量的变化范围非常小，甚至是常数，那么这个水平变量就非常有代表意义；如果这个变量的变化范围非常大，那么水平指标的代表性就相对下降。如下表所示，列出了5个常用的离散程度度量指标。

10.连续变量——偏度

偏度用来刻画偏态的程度。偏态有两种情况：一种是如下图所示（左边）的左偏，该变量在负的方向部分严重拖尾；另一种是如下图所示（右边）的右偏，在正的方向部分严重拖尾。在实际经济和商业数据分析中，右偏是比较普遍的状态。比如，地区的居民收入、客户购买产品的数量、金额和保险理赔额。

11.连续变量——峰度

峰度反应的是变量向两边拖尾的情况。相比正态分布而言，如果一个变量是尖峰的，则必然会导致两边拖尾情况更严重，反映到统计学中就会出现超过2倍标准差数值的概率会大于5%，超过3倍标准差数值的概率会大于1%。这表明出现较大偏离值的可能性提高了。资产收益率的峰度在金融研究中是比较受关注的，这表明了该资产的风险分布情况，尾越厚，风险越大。

三、统计图形

1.条形图

条形图是一个很好展现变量分布情况的方式，但是连续变量不可能做出条形图，因为连续变量如果精度足够大的话，每个取值出现的频数应该只有一次。但是可以采用将连续变量分箱的方法做直方图。这样，每个柱代表一个分箱，柱高为在这个分箱中的取值出现的次数或百分比，分箱的数量和间隔可以自定义，如下图所示：

2.盒须图

盒须图（又称箱线图）相对于直方图而言，提供的信息更精炼。它提供了中位数、均值、上下分位点的信息，这不但可以了解变量的中心水平，还可以了解变量的变化范围。其中需要说明的是最大值和最小值，它们不是变量的最大值和最小值。如图1-9所示，以盒须图中的最小值为例，从上分位点加上1.5倍的内分位距（IQR），该变量在这个范围内的最大取值被称为最大值，超过1.5倍的内分位距的取值被称为离群值（异常值）。

3.玫瑰图

玫瑰图又称为南丁格尔玫瑰图。南丁格尔（Floarence Nightinggale），英国护士和统计学家。1883年，南丁格尔撰写影响英国军队健康，效率和医院管理的资料中，她创造了一个非凡的原创图形展示方式（如下图所示），这张图显示了人们在1854年7月至次年年底期间死亡的情况。南丁格尔玫瑰图类似于饼图的变形，它可以用转角、扇形面积、以及颜色展现数据的不同维度。