R语言典型相关分析

1 关键点：典型相关分析

典型相关分析是用于分析两组随机变量之间的相关程度的一种统计方法，它能够有效地揭示两组随机变量之间的相互（线性依赖）关系

例如 研究生入学考试成绩与本科阶段一些主要课程成绩的相关性

将研究两组变量的相关性问题转化为研究两个变量的相关性问题 此类相关为典型相关#

2 分类：

总体典型相关

样本典型相关

3 R语言提供的计算函数：

典型相关计算 cancor(x,y,xcenter=TRUE,ycenter=TRUE)

x,y是相应的数据矩阵 xcenter，ycenter是逻辑变量 TRUE是将数据中心化 FALSE是不中心化

4 分析结果含义
cor是典型相关系数
xcoef是对应于数据x的系数 又称关于数据x的典型载荷即样本典型变量U系数矩阵A的转置
xcenter是数据X的中心 即数据X的样本均值
y是对应于数据x的系数 又称关于数据y的典型载荷即样本典型变量V系数矩阵B的转置
ycenter是数据Y的中心 即数据Y的样本均值

5 分析步骤
（1.）载入原始数据 data.frame
（2.）原始数据标准化 scale
（3.）典型相关分析 cancor
（4.）相关系数显著性检验 corcoef.test.R

I.典型相关分析的计算

现对20名中年人测得三个生理指标：体重(X1) 腰围(X2) 脉搏(X3);三个训练指标:引体向上(Y1) 起座次数(Y2) 跳跃次数(Y3) 试分析这组数据的相关性
#用数据框的形式输入数据矩阵
test<-data.frame(
  X1=c(191, 193, 189, 211, 176, 169, 154, 193, 176, 156,
       189, 162, 182, 167, 154, 166, 247, 202, 157, 138),
  X2=c(36, 38, 35, 38, 31, 34, 34, 36, 37, 33,
       37, 35, 36, 34, 33, 33, 46, 37, 32, 33),
  X3=c(50, 58, 46, 56, 74, 50, 64, 46, 54, 54,
       52, 62, 56, 60, 56, 52, 50, 62, 52, 68),
  Y1=c( 5, 12, 13,  8, 15, 17, 14,  6,  4, 15,
        2, 12,  4,  6, 17, 13,  1, 12, 11,  2),
  Y2=c(162, 101, 155, 101, 200, 120, 215,  70,  60, 225,
       110, 105, 101, 125, 251, 210,  50, 210, 230, 110),
  Y3=c(60, 101, 58, 38, 40, 38, 105, 31, 25, 73,
       60, 37, 42, 40, 250, 115, 50, 120, 80, 43)
)
#为了消除数量级的影响 将数据标准化处理 调用scale函数
test<-scale(test)
#对标准化的数据做典型相关分析
ca<-cancor(test[,1:3],test[,4:6])
#查看分析结果
ca

结果说明:

1) cor给出了典型相关系数;xcoef是对应于数据X的系数, 即为关于数据X的典型载荷; ycoef为关于数据Y的典型载荷;xcenter与$ycenter是数据X与Y的中心, 即样本均值;

2) 对于该问题, 第一对典型变量的表达式为

U1 = -0.17788841x1 + 0.36232695x2 - 0.01356309x3

U2 = -0.43230348x1 + 0.27085764x2 - 0.05301954x3

U3 = -0.04381432x1 + 0.11608883x2 + 0.24106633x3

V1 = -0.08018009y1 - 0.24180670y2 + 0.16435956y3

V2 = -0.08615561y1 + 0.02833066y2 + 0.24367781y3

V3 = -0.29745900y1 + 0.28373986y2 - 0.09608099y3

相应的相关系数为：p(U1,V1)=0.79560815 ,p(U2,V2)=0.20055604 ,p(U3,V3)=0.07257029

可以进行典型相关系数的显著性检验, 经检验也只有第一组典型变量.

下面计算样本数据在典型变量下的得分：
#计算数据在典型变量下的得分 U=AX  V=BY
U<-as.matrix(test[, 1:3])%*% ca$xcoef ; U
V<-as.matrix(test[, 4:6])%*% ca$ycoef ; V
#调整图形
opar <- par(mfrow = c(1, 1),mar = c(5,4,1,1))
#画出以相关变量U1、V1和U3、V3为坐标的数据散点图
plot(U[,1], V[,1], xlab="U1", ylab="V1")
plot(U[,3], V[,3], xlab="U3", ylab="V3")
#调整图形
par(opar)

由散点图可知 第一典型相关变量分布在一条直线附近；第三典型相关变量数据很分散。因为第一典型变量其相关系数为0.79560815，接近1，所以在一直线附近；第三典型变量的相关系数是0.07257029，接近于0，所以很分散。
II.典型相关系数的显著性检验

作为相关分析的目的 就是选择多少对典型变量？因此需要做典型相关系数的显著性检验。若认为相关系数k为0 就没有必要考虑第k对典型变量了
#相关系数检验R程序
corcoef.test<-function(r, n, p, q, alpha=0.1){
   #r为相关系数 n为样本个数 且n>p+q
   m<-length(r); Q<-rep(0, m); lambda <- 1
   for (k in m:1){
     #检验统计量
     lambda<-lambda*(1-r[k]^2);
      #检验统计量取对数
     Q[k]<- -log(lambda)  
   }
   s<-0; i<-m
   for (k in 1:m){
     #统计量  
     Q[k]<- (n-k+1-1/2*(p+q+3)+s)*Q[k]
      chi<-1-pchisq(Q[k], (p-k+1)*(q-k+1))
      if (chi>alpha){
         i<-k-1; break
      }
      s<-s+1/r[k]^2
   }
  #显示输出结果 选用第几对典型变量
    i
}
source("corcoef.test.R")
#输入相关系数r，样本个数n，两个随机向量的维数p和q，置信水平a（缺省值为0.1）
corcoef.test(r=ca$cor,n=20,p=3,q=3)
#程序输出值为典型变量的对数

最终程序运行结果显示选择第一对典型相关变量。我们只利用第一典型变量分析问题，达到降维的目的。

write.csv(test,"test_test.csv")