【R语言】单一样本推断问题

非参数统计概念：

在实际问题中，对数据的分布形式和统计模型难以作出比较明确的假定，最多只能对总体的分布做出类似于连续性型分布或者对某点对称等一般性假定。这种不假设总体分布的具体形式，尽量从数据（样本）本身获得所需要的信息，通过估计而获得分布的结构，并逐步建立对事物的数学描述和统计建模的方法称为非参数方法。

单一样本的推断问题：

符号检验

符号检验所关心的就是通过符号“+”“-”的个数来进行统计推断

eg：假设某城市16座欲出售的楼盘均价（单位：百元 /平方米）

36  32 31 25 28 36 40 32 41 26 35 35 32 87 33 35

问：该地盘楼盘价格是否与媒体公布的3700元/平方米说法相符？

分析：

总体均值的点估计是样本均值，总体中位数的点估计是样本中位数，由于中位数的稳健性，将37理解为总体的中位数，则假设问题为：

H0：M=37     H1: M不等于37（待检验的中位数值）

假设：

S+：位于37右边的个数   S-： 位于37左边的个数

令K=min{S+，S-}，且K服从p=0.5的二项分布

R代码:

##1.S-为检验统计量

sign1.test = function(x,pi,q0){
  s1 = sum(x<q0)  #S-的个数
  s2 = sum(x>q0)  #S+的个数 
  n  = s1+s2     
  p1 = pbinom(s1,n,pi)  ### 取检验统计量K=S-，计算 P（K<=s1）
  p2 = 1-pbinom(s1-1,n,pi)   ### 计算 P（K>=s1）
  if(p1 < p2){  m1 = "one tail test:H1: Q > q0"
  }else{
      m1 = "one tail test:H1: Q < q0"
  }
  p.value = min(p1,p2)
  m2 = "two tails test"
  p.value2 = 2*p.value
  list(sign.test.type = m1,p.values.of.one.test = p.value,p.value.of.two.tail.test = p.value2)
}

##以上便构建了符号检验的函数，接下来可以直接调用

data=c(36,31,25,28,36,40,32,41,26,35,35,32,87,33,35,32)##赋值

x=median(data)##获取样本中位数

sign1.test(data,0.5,37)

结果解读：

p=0.02127<0.05(显著性水平)，拒绝H0，认为该地盘楼盘价格是否与媒体公布的3700元/平方米存在显著差异。

趋势检验

对于趋势分析，我们用一些数对来反映前后数据的变化。为保证数对同分布，前后两个数的间隔应该固定；为保证数对不受局部干扰，前后两个数的间隔应该较大。Cox-Staut趋势检验，是以数列中位于中间位置的数为拆分点，前后两两组成数对。

例：一个住宅小区的夜间噪音长期一直保持在30分贝。后来附近有建筑工地施工。数据是连续12天夜间在该小区所测得的噪声水平（分贝）。

30,31,33,35,31,30,68,60,65,67,66,64

请问：该建筑工地是否提高了小区的噪声水平？

建立假设：

Ho:该建筑工地没有提高小区的噪声水平  

H1：该建筑工地提高了小区的噪声水平

检验统计量选取：

S=min{S+，S-}

S+：每一数对前后两值之差为正的个数

S-：每一数对前后两值之差为负的个数

R代码：

CS.test = function(x){

m = length(x)

c = if(m/2-round(m/2)==0){m/2}else{(m+1)/2} ### 此处亦可用floor(m/2)代替round(m/2)

d = if(m/2-round(m/2)==0){x[1:c]-x[(c+1):m]}else{x[1:(c-1)]-x[(c+1):m]}

n1 = length(d[which(d > 0)]) ### n1 = length(which(d > 0))

n2 = length(d[which(d < 0)])  

n = n1+n2

s1 = sum(sign(d)== 1)

s2 = sum(sign(d)== -1)

if(n1 > n2){  

m1 = "one tail test:H1: decreasing" 

p.value = pbinom(n2,n,0.5)

}else{

m1 = "one tail test:H1: increasing"

p.value = pbinom(n1,n,0.5)

}

m2 = "two tails test"

s = min(s1,s2)

p.value2 = 2*pbinom(s,n,0.5)

if(n1==n2){p.value = 0.5;p.value2 = 1}

list(sign.test.type = m1,p.values.of.one.test = p.value,p.value.of.two.tail.test = p.value2)

}

上述就是Cox-Staut检验的算法代码

代入数据：

x=c(30,31,33,35,31,30,68,60,65,67,66,64)

结果分析：

单边检验P=0.015625<0.05（显著性水平）

故拒绝H0，认为该建筑工地提高了小区的噪声水平。

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