简单易学的机器学习算法—决策树之ID3算法

一、决策树分类算法概述
    决策树算法是从数据的属性（或者特征）出发，以属性作为基础，划分不同的类。例如对于如下数据集

（数据集）
其中，第一列和第二列为属性（特征），最后一列为类别标签，1表示是，0表示否。决策树算法的思想是基于属性对数据分类，对于以上的数据我们可以得到以下的决策树模型

（决策树模型）
先是根据第一个属性将一部份数据区分开，再根据第二个属性将剩余的区分开。
    实现决策树的算法有很多种，有ID3、C4.5和CART等算法。下面我们介绍ID3算法。
二、ID3算法的概述
    ID3算法是由Quinlan首先提出的，该算法是以信息论为基础，以信息熵和信息增益为衡量标准，从而实现对数据的归纳分类。
    首先，ID3算法需要解决的问题是如何选择特征作为划分数据集的标准。在ID3算法中，选择信息增益最大的属性作为当前的特征对数据集分类。信息增益的概念将在下面介绍，通过不断的选择特征对数据集不断划分；
    其次，ID3算法需要解决的问题是如何判断划分的结束。分为两种情况，第一种为划分出来的类属于同一个类，如上图中的最左端的“非鱼类”，即为数据集中的第5行和第6行数据；最右边的“鱼类”，即为数据集中的第2行和第3行数据。第二种为已经没有属性可供再分了。此时就结束了。
    通过迭代的方式，我们就可以得到这样的决策树模型。

（ID3算法基本流程）
三、划分数据的依据
    ID3算法是以信息熵和信息增益作为衡量标准的分类算法。
1、信息熵(Entropy)
   熵的概念主要是指信息的混乱程度，变量的不确定性越大，熵的值也就越大，熵的公式可以表示为：

其中为类别在样本s中出现的概率。
2、信息增益(Information gain)
   信息增益指的是划分前后熵的变化，可以用下面的公式表示：

其中，a表示样本的属性，是属性所有的取值集合。v是a的其中一个属性值，sv是s中a的值为v的样例集合。

四、实验仿真
1、数据预处理
    我们以下面的数据为例，来实现ID3算法：

我们首先需要对数据处理，例如age属性，我们用0表示youth，1表示middle_aged，2表示senior等等。

（将表格数据化）
2、实验结果

（原始的数据）

（划分1）

（划分2）

（划分3）

（最终的决策树）
MATLAB代码
主程序
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%% Decision Tree  
% ID3  
 
%导入数据  
%data = [1,1,1;1,1,1;1,0,0;0,1,0;0,1,0];    
 
data = [0,2,0,0,0;  
    0,2,0,1,0;  
    1,2,0,0,1;  
    2,1,0,0,1;  
    2,0,1,0,1;  
    2,0,1,1,0;  
    1,0,1,1,1;  
    0,1,0,0,0;  
    0,0,1,0,1;  
    2,1,1,0,1;  
    0,1,1,1,1;  
    1,1,0,1,1;  
    1,2,1,0,1;  
    2,1,0,1,0];  
 
% 生成决策树  
createTree(data)；  

生成决策树
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function [ output_args ] = createTree( data )  
    [m,n] = size(data);  
    disp('original data:');  
    disp(data);  
    classList = data(:,n);  
    classOne = 1;%记录第一个类的个数  
    for i = 2:m  
        if classList(i,:) == classList(1,:)  
            classOne = classOne+1;  
        end  
    end  
      
    % 类别全相同  
    if classOne == m  
        disp('final data: ');  
        disp(data);  
        return;  
    end  
      
    % 特征全部用完  
    if n == 1  
        disp('final data: ');  
        disp(data);  
        return;  
    end  
      
    bestFeat = chooseBestFeature(data);  
    disp(['bestFeat: ', num2str(bestFeat)]);  
    featValues = unique(data(:,bestFeat));  
    numOfFeatValue = length(featValues);  
      
    for i = 1:numOfFeatValue  
        createTree(splitData(data, bestFeat, featValues(i,:)));  
        disp('-------------------------');  
    end  
end  

选择信息增益最大的特征
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%% 选择信息增益最大的特征  
function [ bestFeature ] = chooseBestFeature( data )  
    [m,n] = size(data);% 得到数据集的大小  
      
    % 统计特征的个数  
    numOfFeatures = n-1;%最后一列是类别  
    % 原始的熵  
    baseEntropy = calEntropy(data);  
      
    bestInfoGain = 0;%初始化信息增益  
    bestFeature = 0;% 初始化最佳的特征位  
      
    % 挑选最佳的特征位  
    for j = 1:numOfFeatures  
        featureTemp = unique(data(:,j));  
        numF = length(featureTemp);%属性的个数  
        newEntropy = 0;%划分之后的熵  
        for i = 1:numF  
            subSet = splitData(data, j, featureTemp(i,:));  
            [m_1, n_1] = size(subSet);  
            prob = m_1./m;  
            newEntropy = newEntropy + prob * calEntropy(subSet);  
        end  
          
        %计算增益  
        infoGain = baseEntropy - newEntropy;  
          
        if infoGain > bestInfoGain  
            bestInfoGain = infoGain;  
            bestFeature = j;  
        end  
    end  
end  

计算熵
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function [ entropy ] = calEntropy( data )  
    [m,n] = size(data);  
      
    % 得到类别的项  
    label = data(:,n);  
      
    % 处理完的label  
    label_deal = unique(label);  
      
    numLabel = length(label_deal);  
    prob = zeros(numLabel,2);  
      
    % 统计标签  
    for i = 1:numLabel  
        prob(i,1) = label_deal(i,:);  
        for j = 1:m  
            if label(j,:) == label_deal(i,:)  
                prob(i,2) = prob(i,2)+1;  
            end  
        end  
    end  
      
    % 计算熵  
    prob(:,2) = prob(:,2)./m;  
    entropy = 0;  
    for i = 1:numLabel  
        entropy = entropy - prob(i,2) * log2(prob(i,2));  
    end  
end  

划分数据
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function [ subSet ] = splitData( data, axis, value )  
    [m,n] = size(data);%得到待划分数据的大小  
      
    subSet = data;  
    subSet(:,axis) = [];  
    k = 0;  
    for i = 1:m  
        if data(i,axis) ~= value  
            subSet(i-k,:) = [];  
            k = k+1;  
        end  
    end     
end