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先看三张图片,这三张图片是线性回归模型 拟合的函数和训练集的关系
第一张图片拟合的函数和训练集误差较大,我们称这种情况为 欠拟合
第二张图片拟合的函数和训练集误差较小,我们称这种情况为 合适拟合
第三张图片拟合的函数完美的匹配训练集数据,我们称这种情况为 过拟合
类似的,对于逻辑回归同样也存在欠拟合和过拟合问题,如下三张图
欠拟合问题,根本的原因是特征维度过少,导致拟合的函数无法满足训练集,误差较大。
过拟合问题,根本的原因则是特征维度过多,导致拟合的函数完美的经过训练集,但是对新数据的预测结果则较差。
解决过拟合问题,则有2个途径
正则化; 保留所有的特征,通过降低参数θ的值,来影响模型
3. 正则化
回到前面过拟合例子, h(x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + θ3x3 + θ4x4
从图中可以看出,解决这个过拟合问题可以通过消除特征x3和x4的影响, 我们称为对参数的惩罚, 也就是使得参数θ3, θ4接近于0。
最简单的方法是对代价函数进行改造,例如
这样在求解最小化代价函数的时候使得参数θ3, θ4接近于0。
正则化其实就是通过对参数θ的惩罚来影响整个模型
4. 线性回归使用正则化
前面几篇文章中,线性回归的代价函数J(θ)表达式如下
正则化后,代价函数J(θ)表达式如下,注意j从1开始
注意λ值不能设置过大,否则会导致求出的参数除了θ0,其它θ1,θ2 ... θn值约等于0,导致预测函数h(x)出现极大偏差
我们的目标依然是求J(θ)最小值,我们还是用梯度下降算法和正规方程求解最小化J(θ)
1. 梯度下降算法(注意需要区分θ0和其它参数的更新等式)
2. 正规方程
对于正规方程来,需要修改等式如下
系数λ 所乘的矩阵为 (n+1)*(n+1)维
5. 逻辑回归使用正则化
和线性回归模型类型,逻辑回归也可以通过正则化来解决过拟合问题。
正则化逻辑回归的代价函数,是在等式后加上一项,注意j从1开始
同样的用梯度下降算法求解最小化J(θ),也需要做改变
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