机器学习实现与分析之四（广义线性模型）
指数分布族
首先需要提及下指数分布族，它是指一系列的分布，只要其概率密度函数可以写成下面这样的形式：
一般的很多分布（如高斯分布，泊松分布，二项式分布，伽马分布等）都属于指数分布族。
广义线性模型构建假设
广义线性模型主要基于以下假设：
1.
的分布属于指数分布族
2.预测值为
，因此模型就是
3.模型线性性，即
线性回归中，假设
服从高斯分布
，则将其写成指数分布族形式如下：
注意这里ηη和T(y)T(y)可以有多种取法满足上面这个式子，但根据上面假设的第二条，由于我们需要预测的是yy，则T(y)=yT(y)=y，从而就有
从而：
这里σ2σ2是一个常数，则上式可写为：
此即为线性回归中使用的线性模型的来源。同理，对于逻辑回归，有
则
由此可得：
故而有
此即为逻辑回归使用的模型。
同理，对于其他分布，我们也可以写出对应的回归模型。上面给出了线性回归和逻辑回归的模型，通过最大似然估计与梯度下降法，即可求出参数。
问题与思考
1.构建GLM的三条假设，其中假设一在此模型构建中起了什么作用，目前还未理解。假如分布不属于指数分布族，那是否也可以构建其他形式的线性模型？有理解的同学望不吝赐教。
2.假设三即是模型的线性假设，这也能说明了逻辑回归只能处理线性可分情况。
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2026-10-22
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