python中实现精确的浮点数运算详解

为什么说浮点数缺乏精确性？

在开始本文之前，让我们先来谈谈浮点数为什么缺乏精确性的问题，其实这不是Python的问题，而是实数的无限精度跟计算机的有限内存之间的矛盾。

举个例子，假如说我只能使用整数（即只精确到个位，计算机内的浮点数也只有有限精度，以C语言中的双精度浮点数double为例，精度为52个二进制位），要表示任意实数（无限精度）的时候我就只能通过舍入(rounding)来近似表示。

比如1.2我会表示成1，2.4表示成2，3.6表示成4.

所以呢？

在算1.2 - 1.2的时候，由于计算机表示的问题，我算的实际上是1 - 1，结果是0，碰巧蒙对了；

在算1.2 + 1.2 - 2.4的时候，由于计算机表示的问题，我算的实际上是1 + 1 - 2，结果是0，再次蒙对了；

但是在算1.2 + 1.2 + 1.2 - 3.6的时候，由于计算机表示的问题，我算的实际上是1 + 1 + 1 - 4，结果是-1，运气没那么好啦！

这里的1.2, 2.4, 3.6就相当于你问题里的0.1, 0.2和0.3，1, 2, 4则是真正在计算机内部进行运算的数值，我说清楚了吗？

其他请看IEEE 754浮点数标准，比如CSAPP第二章啥的（虽然估计你没兴趣看）。

另：不仅仅是浮点数的在计算机内部的表示有误差，运算本身也可能会有误差。比如整数2可以在计算机内准确表示，但是要算根号2就有误差了；再比如两个浮点数相除，本来两个数都是精确表示的，但除的结果精度却超出了计算机内实数的表示范围，然后就有误差了。

好了，下面话不多说了，开始本文的正文：

起步

浮点数的一个普遍的问题是它们不能精确的表示十进制数。

>>> a = 4.2
>>> b = 2.1
>>> a + b
6.300000000000001
>>> (a + b) == 6.3
False
>>>

这是由于底层 CPU 和IEEE 754 标准通过自己的浮点单位去执行算术时的特征。看似有穷的小数, 在计算机的二进制表示里却是无穷的。

一般情况下，这一点点的小误差是允许存在的。如果不能容忍这种误差（比如金融领域），那么就要考虑用一些途径来解决这个问题了。

Decimal

使用这个模块不会出现任何小误差。    
>>> from decimal import Decimal
>>> a = Decimal('4.2')
>>> b = Decimal('2.1')
>>> a + b
Decimal('6.3')
>>> print(a + b)
6.3
>>> (a + b) == Decimal('6.3')
True

尽管代码看起来比较奇怪，使用字符串来表示数字，但是 Decimal 支持所有常用的数学运算。 decimal 模块允许你控制计算的每一方面，包括数字位数和四舍五入。在这样做之前，需要创建一个临时上下文环境来改变这种设定：
>>> from decimal import Decimal, localcontext
>>> a = Decimal('1.3')
>>> b = Decimal('1.7')
>>> print(a / b)
0.7647058823529411764705882353
>>> with localcontext() as ctx:
...  ctx.prec = 3
...  print(a / b)
...
0.765
>>> with localcontext() as ctx:
...  ctx.prec = 50
...  print(a / b)
...
0.76470588235294117647058823529411764705882352941176
>>>

由于 Decimal 的高精度数字自然也就用字符串来做展示和中转。

总结

总的来说，当涉及金融领域时，哪怕是一点小小的误差在计算过程中都是不允许的。因此 decimal 模块为解决这类问题提供了方法。