逻辑回归算法的原理及实现(LR)

逻辑回归(Logistic Regression, LR)又称为逻辑回归分析，是分类和预测算法中的一种。通过历史数据的表现对未来结果发生的概率进行预测。例如，我们可以将购买的概率设置为因变量，将用户的特征属性，例如性别，年龄，注册时间等设置为自变量。根据特征属性预测购买的概率。逻辑回归与回归分析有很多相似之处，在开始介绍逻辑回归之前我们先来看下回归分析。

回归分析用来描述自变量x和因变量Y之间的关系，或者说自变量X对因变量Y的影响程度，并对因变量Y进行预测。其中因变量是我们希望获得的结果，自变量是影响结果的潜在因素，自变量可以有一个，也可以有多个。一个自变量的叫做一元回归分析，超过一个自变量的叫做多元回归分析。下面是一组广告费用和曝光次数的数据，费用和曝光次数一一对应。其中曝光次数是我们希望知道的结果，费用是影响曝光次数的因素，我们将费用设置为自变量X，将曝光次数设置为因变量Y，通过一元线性回归方程和判定系数可以发现费用(X)对曝光次数(Y)的影响。

以下为一元回归线性方式，其中y是因变量，X是自变量，我们只需求出截距b0和斜率b1就可以获得费用和曝光次数之间的关系，并对曝光次数进行预测。这里我们使用最小二乘法来计算截距b0和斜率b1。最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

下表中是使用最小二乘法计算回归方程的一些必要的计算过程。在表中最左侧的两列分别为自变量X和因变量Y，我们首先计算出自变量和因变量的均值，然后计算每一个观测值与均值的差，以及用于计算回归方程斜率b1所需的数据。

根据表中的数据按公式计算出了回归方程的斜率b1，计算过程如下。斜率表示了自变量和因变量间的关系，斜率为正表示自变量和因变量正相关，斜率为负表示自变量和因变量负相关，斜率为0表示自变量和因变量不相关。

求得斜率b1后，按下面的公式可以求出Y轴的截距b0。

将斜率b1和截距b0代入到回归方程中，通过这个方程我们可以获得自变量和因变量的关系，费用每增加1元，曝光次数会增长7437次。以下为回归方程和图示。

在回归方程的图示中，还有一个R平方，这个值叫做判定系数，用来衡量回归方程是否很好的拟合了样本的数据。判定系数在0-1之间，值越大说明拟合的越好，换句话说就是自变量对因变量的解释度越高。判定系数的计算公式为SST=SSR+SSE，其中SST是总平方和，SSR是回归平方和，SSE是误差平方和。下表为计算判定系数所需三个指标的一些必要的计算过程。

根据前面求得的回归平方和(SSR)和总平方和(SST)求得判定系数为0.94344。

以上为回归方程的计算过程，在根据费用预测曝光数量的场景下，我们可以通过回归方程在已知费用的情况下计算出曝光数量。逻辑回归与回归方程相比在线性回归的基础上增加了一个逻辑函数。例如通过用户的属性和特征来判断用户最终是否会进行购买。其中购买的概率是因变量Y，用户的属性和特征是自变量X。Y值越大说明用户购买的概率越大。这里我们使用事件发生的可能性（odds）来表示购买与未购买的比值。

使用E作为购买事件，P(E)是购买的概率，P(E’)是未购买的概率，Odds(E)是事件E(购买)发生的可能性。

Odds是一个从0到无穷的数字，Odds的值越大，表明事件发生的可能性越大。下面我们要将Odds转化为0-1之间的概率函数。首先对Odds取自然对数，得到logit方程，logit是一个范围在负无穷到正无穷的值。

基于上面的logit方程，获得以下公式：

其中使用π替换了公式中的P(E),π=P(E)。根据指数函数和对数规则获得以下公式：

并最终获得逻辑回归方程：

下面根据逻辑回归方程来计算用户购买的概率，下表是用户注册天数和是否购买的数据，其中注册天数是自变量X，是否购买是自变量Y。我们将购买标记为1，将未购买标记为0。接下来我们将在Excel中通过8个步骤计算出逻辑回归方程的斜率和截距。并通过方程预测新用户是否会购买。

第一步，使用Excel的排序功能对原始数据按因变量Y进行排序，将已购买和未购买的数据分开，使得数据特征更加明显。

第二步，按照Logit方程预设斜率b1和截距b0的值，这里我们将两个值都预设为0.1。后续再通过Excel求最优解。

第三步，按照logit方程，使用之前预设的斜率和截距值计算出L值。

第四步，将L值取自然对数，

第五步，计算P(X)的值，P(X)为事件发生的可能性(Odds)。具体的计算步骤和过程见下图。

第六步，计算每个值的对数似然函数估计值（Log-Likelihood）。方法和过程见下图。

第七步，将对数似然函数值进行汇总。

第八步，使用Excel的规划求解功能，计算最大对数似然函数值。方法和过程见下图。设置汇总的对数似然函数值LL为最大化的目标，预设的斜率b1和截距b0是可变单元格，取消”使无约束变量为非负数”的选项。进行求解。

Excel将自动求出逻辑回归方程中斜率和截距的最优解，结果如下图所示。

求得逻辑回归方程的斜率和截距以后，我们可以将值代入方程，获得一个注册天数与购买概率的预测模型，通过这个模型我们可以对不同注册天数(X)用户的购买概率(Y)进行预测。以下为计算过程。

第一步，输入自变量注册天数(X)的值，这里我们输入50天。

第二步，将输入的X值，以及斜率和截距套入Logit方程，求出L值。

第三步，对L值取自然对数。

第四步，求时间发生可能性P(X)的概率值。

注册天数为50天的用户购买的概率约为17.60%。

我们将所有注册天数的值代入到购买概率预测模型中，获得了一条注册天数对购买概率影响的曲线。从曲线中可以发现，注册天数在较低和较高天数的用户购买概率较为平稳。中间天数用户的购买概率变化较大。

我们继续在上面的计算结果中增加新的自变量“年龄”。以下是原始数据的截图。现在有年龄和注册天数两个自变量和一个因变量。

依照前面的方法计算斜率和截距的最优解，并获得逻辑回归方程，将不同的年龄和注册天数代入到方程中，获得了用户年龄和注册天数对购买的预测模型。我们通过Excel的三维图表来绘制年龄和注册天数对购买概率的影响。

从图中可以看出，购买概率随着注册天数的增加而增长，并且在相同的注册天数下，年龄较小的用户购买概率相对较高。

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