因子模型举例：主成分分析

我之前提到的因子风险主要包括经济的(知利率)、基本面的(如账面市值比率)和技术的(如前期收益率)。获得一个包含大童股票的投资组合因子风险的历史数据，并用于对因子模型进行回测，对于独立交易员来说是非常昂贵且不切实际的。不过，有一种因子模型，其构建只依核于历史收益率。这个方法叫做主成分分析(PCA)。

用主成分分析构建因子风险和因子收益率，必须假设因子风险在估计的时间段内是不变的(时间独立)。(这排除了表示均值回归或惯性的因子，因为这些因子风险都与前期收益率有关)。更重要的是，如果假设因子收益率之间“不相关”，协方差矩阵bbT就是对角矩阵。如果用协方差矩阵RRT的特征向量作为APT方程R=Xb+u中矩阵X的列向量，可知bbT的确是对角矩阵，并且矩阵RRT的特征值正好扰是因子收益率b的方差。但是，如果因子数量与股票数量相等，我们就不需要使用因子分析了，因为只要选取几个具有较大特征位的特征向黄就能构成矩阵X。特征向量的个数是一个需要优化的交易模型参数。

下面的MATLAB程序展示了一个对S&P60。小盘股使用主成分分析的可能交易策略。这一策略仅设因于收益率具有惯性，即从本期到下期。因于收益率的值保持不变。因此，可以买入基于这些因子的期望收益率最高的股票，卖出期望收益率最低的股票。如果发现这一策略的平均收益率为负，表明对收益率具有惯性的假设是不合适的，或者策略的特有收益率太大了以至于策略失效。

clear;

%使用回望交易日作为佑计区间(训练集)，以此来决定因子风险

%回望期交易日为252天，因子5个

%交易策略为：购买下一个交易日期望收益率最高的50只股票topN = 50；

%选用SP600小盘股做测试(此MATLAB二进制辑入丈件包含交易日，股票，开盘价，最高价，最低价，收盘价)

load('IJR 20080114');

mycls=fillMissingData(cl);

positionsTable=zeros (size(cl));

写dailyret的行是在不同时间段上的观察值

dailyret=(mycls一lagl(mycls))/lagl(mycls)；

for t=lookback+1:length(tday)

% R的列是不同的观刻对象

R=dailyret(t-lookback+一:t.:)’;

%不考虑所有收益率缺失的股票

hasData=find(all(isfinite(R)，2));

R=R(hasData,:);

avgR=smartmean(R,2);

%移去均值

R=R-repmat(avgR，[1 size(R,2)]);

%计算不同股票收益率的协方差拒阵

covR= smartcov(R')；

% X是因子风险矩阵，B是因子收益率的方差

%用covR的特征值作为X的列向量

[X,B]=eig(covR);

%保留的因子数为numFactors

X(:，1:size(X，2)-numFactors) =[];

% b是从时间t-1到t的因子收益率

results=ols(R(:，end)，X);b= results.beta;

% Rexp是假设因子收益率保持常数时。下一个时间段的期望收益率

Rexp=avgR+X*b;

[foo idxSort]=sort(Rexp，'ascend');

%做空期望收益率最低的50只股票

positionsTable(t，hasData(idxSort(1:topN)))=-1;

%做多期望收益率最高的50只股票

positionsTable(t,. ..

hasData(idxSort(end-opN+1:end)))=1;

end

%计算交易策略的每日收益率

ret=...

smartsum(backshift(1，positionsTable).*dailyret,2);

%计算交易策略的年化收益率

avgret=smartmean(ret)*252%收益率很低

%avgret=

%

%-1.8099

程序中使用了smartcov函数来计算多只股票日收益平向量的协方差矩阵。与MATLAB内置的cov函数不同，smartcov函数忽略了收益率缺失的交易日(包括NaN值)。

function y=smartcov(x)

% n个有限元素的协方差

% 行为观测值，列为变量

% 用N标准化，而非N-1

y= NaN (size(x,2) , size(x, 2 ));

xc= NaN(size(x));

goodstk=find(～all(isnan(x)，1));

xc(:，goodstk)=...

x(:,goodstk)-repmat(smartmean(x(:,goodstk)，1)，...

[size(x,1)1];%移去均值

for m=1:length(goodstk)

for n=m:length(goodstk)

y(goodstk(m),goodstk(n))=...

smartmean(xc(:，goodstk(m)).

*..xc(:，goodstk(n)));

     y(goodstk(n),goodstk(m))=y(goodstk(m) ,goodstk(n));

end

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