多元线性回归分析理论详解及SPSS结果分析

当影响因变量的因素是多个时候，这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归，分为：多元线性回归和多元非线性回归。这里直说多元线性回归。对比一元线性回归：

1.1多元回归模型：

3.1 多重判定系数：(Multiple coefficient of determination)

R2a同时考虑了样本量(n)和模型中自变量的个数(k)的影响，这就使得R2a的值永远小于R2，而且R2a的值不会因为模型中自变量的个数增多而逐渐接近于1.
(2 )R2的平方根成为多重相关系数，也称为复相关系数，它度量了因变量同k个自变量的相关程度。
3.2 估计标准误差

在此重点说明，在一元线性回归中，线性关系的检验(F检验)和回归系数的检验(t检验)是等价的。 但是在多元回归中，线性关系的检验主要是检验因变量同多个自变量线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量与因变量的线性关系显著，F检验就能通过，但这不一定意味着每个自变量与因变量的关系都显著。回归系数检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，它主要用于检验每个自变量对因变量的影响是否都显著。如果某个自变量没有通过检验，就意味着这个自变量对因变量的影响不显著，也许就没有必要将这个自变量放进回归模型中。
4.1 线性关系的检验
步骤：
（1）：提出假设

多重共线性：当回归模型中两个或两个以上的变量彼此相关时，则称回归模型中存在多重共线性。
多重共线性的判别：
（1）模型中中各对自变量之间显著相关
（2）当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有的回归系数βi的t检验却不显著。
（3）回归系数的正负号与预期的相反。
（4）容忍度(tolerance) 与 方差扩大因子(variance inflation factor, VIF).
容忍度：某个变量的容忍度等于 1 减去该自变量为因变量而其他k−1个自变量为预测变量时所得到的线性回归模型的判定系数。即1−R2i。 容忍度越小，多重共线性越严重。通常认为 容忍度小于 0.1 时，存在严重的多重共线性。
方差扩大因子：容忍度的倒数。 因此，VIF越大，多重共线性越严重，一般认为VIF的值大于10时，存在严重的多重共线性。

5.2 多重共线性的处理

常见的两种办法：
（1）将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关。
（2）如果要在模型中保留所有的自变量，那么应该：
（2.1）避免根据t统计量对单个参数β进行检验，
（2.2）对因变量y值的推断（预测和估计）限定在自变量样本值的范围内。

5.3选择变量避免共线性的几种方式，

在建立回归模型时，我们总是希望用最少的变量来说明问题，选择自变量的原则通常是对统计量进行显著性检验，检验的根据是：将一个或一个以上的自变量引入回归模型中时，是否使残差平方和(SSE)显著减少，如果增加一个自变量使残差平方和(SSE)显著减少，则说明有必要将这个变量引入回归模型中，否则，没有必要将这个变量引入回归模型中。确定在模型中引入自变量xi是否使残差平方和(SSE)显著减少的方法，就是使用F统计量的值作为一个标准，以此来确定在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量。
变量选择方式：
5.3.1 向前选择;
第一步： 对k个自变量分别与因变量y的一元线性回归模型，共有k个，然后找到F统计量的值最大的模型及其自变量xi并将其首先引入模型。
第二步： 在已经引入模型的xi的基础上，再分别拟合xi与模型外的k−1个自变量的线性回归模型，挑选出F值最大的含有两个自变量的模型， 依次循环、直到增加自变量不能导致SSE显著增加为止，
5.3.2向后剔除
第一步：先对所有的自变量进行线性回归模型。然后考察p<k个去掉一个自变量的模型，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来从模型中剔除，
第二步：考察p−1个再去掉一个自变量的模型，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来从模型中剔除，直到剔除一个自变量不会使SSE值显著减小为止，这时，模型中的所剩自变量自然都是显著的。
5.3.3逐步回归
是上面两个的结合、考虑的比较全，以后就用这个就可以。

具体的分析过程、咱们以spss的多元回归分析结果为例。